Språket som kalkyl

83

I min första artikel om språk och logik talade jag om de historiska förbindelserna mellan logisk och lingvistisk forskning. Vi fann, att de två vetenskaperna efter att en tid ha vandrat skilda vägar åter närmat sig varandra. I denna artikel skall jag försöka visa, vari de moderna logikernas intresse för språket består. Och vidare önska-

84

de jag klargöra logikernas något egenartade användning av själva ordet »språk».

    Ett viktigt ledmotiv i den europeiska kulturens historia under nya tiden kunde kallas “maskinens idé”. När vi hör ordet »maskin», tänker vi väl i första hand på teknik. Men den moderna tekniken är bara en utåt synlig sida av andan i europeisk vetenskap, filosofi och livsuppfattning. Maskinen har en s.a.s. okroppslig kusin inom det abstrakta tänkandet. Den heter »kalkyl». Kalkylen kan sägas vara nya tidens mest egenartade bidrag till matematikens utveckling. En antydan härom ligger redan i namnen på några av de matematiska discipliner, vilkas tillkomst markerar den nyare matematikens födelse: differentialkalkyl, sannolikhetskalkyl och variationskalkyl.

Vad är en kalkyl? Man kunde – mycket summariskt – svara att en kalkyl är operationer med tecken enligt givna regler. Kalkylering är en sorts maskinmässigt tänkande. Sambandet mellan kalkyl och teknik symboliseras av räknemaskinerna. För den idéhistoriska betraktaren måste det te sig betydelsefullt, att additionsmaskinen uppfanns av Pascal och Leibniz. Från den moderna »elektronhjärnan» går en förbindelse till några av de djärvaste tankarna hos den västerländska filosofiens fäder.

    De tecken, som man opererar med i de tidigast studerade kalkylerna är siffror (tal-tecken) och andra symboler för storheter, kvantiteter. I kalkylens idé finns emellertid ingenting som säger, att det regelmässiga opererandet med tecken måste, för att vara vetenskapligt intressant, gälla kvantiteter. Redan Leibniz har med genial intuition insett och uttalat, att kalkylens idé kan tillämpas långt utanför kvantiteternas område, alltså långt utanför det som enligt en fortfarande populär mening anses vara gränserna för matematikens domän. Den kalkylatoriska synpunkten kan i princip anläggas på vilka tecken eller språkliga symboler som helst. Och med denna tanke är vi i omedelbart grannskap av temat språk och logik.

    Flyttar vi oss från Leibniz ett och ett halvt sekel framåt, kommer vi till Boole. Hans epokgörande arbete om en matematisk analys av logiken har den signifikativa underrubriken »An essay towards a Calculus of Deductive Reasoning».

    Boole kallar sin logik en tanke-kalkyl. Vi kunde lika gärna här tala om en språk-kalkyl. Den språkliga synpunkten är inte främmande för Boole. »The theory of logic», säger han, »is intimately connected with that of language».

Booles upptäckt, eller riktigare sagt en sida av densamma, kunde i största korthet beskrivas på följande sätt:

    Undersöker man, hur ord i stil med »icke», »och», »eller», »om», »men», »utan» används för att av givna satser sammansätta andra, mera komplicerade satser, så finner man att denna användning på ett märkvärdigt sätt påminner om aritmetiska operationer med tal. De analogier, som råder här, gör det ändamålsenligt att tala om två eller flera satsers förbindelse med ordet »och» som en produkt och om satsers förbindelse med »eller» som en summa. Alltså t.ex. att kalla satsen »det regnar och det blåser» (den logiska) produkten, och satsen »det regnar eller det blåser» (den logiska) summan av satserna »det regnar» resp. »det blåser». Den teori som gäller för logiska summor, produkter och besläktade operationer med satser är en fullkomligt »exakt», vi kunde också säga »matematisk», teori. Men den är inte identisk med någon tidigare känd del av matematiken.

    Till en kalkyl hör tecken och regler för tecknens handhavande. Man brukar skilja mellan variabla och konstanta tecken. I den vanliga algebran är de variabla tecknen tal-tecken. I den logiska algebran är de satser. I den vanliga algebran är de konstanta tecknen »plus», »minus», »gånger» o.a. symboler för tal-operationer. I den logiska algebran är »icke», »och», »eller» o.a. symboler för sats-operationer.

    En viktig grupp av regler i algebran handlar om likheter eller identiteter mellan på olika sätt bildade tecken-kombinationer. Så säger t.ex. den s.k. kommutationslagen för addition, att summan av två tal är densamma oberoende av den ordning, i vilken talen adderas. 5+7 är lika med 7+5.

En viktig grupp av regler i logiken handlar om likheter mellan på olika sätt bildade satskombinationer. Bl.a. har vi en kommutationslag också för logiska summor. Satsen »det blåser eller det regnar» säger detsamma som satsen »det regnar eller det blåser».

    Ett intressant exempel är den s.k. distributionsregeln. Som känt gäller i talens värld formeln x*(y+z) = x*y+x*z Exempel: 3*(4+5) är detsamma som 3*4+3*5. Men samma formel gäller också, om vi för x, y och z insätter godtyckliga satser, för * ordet »och», för + ordet »eller» och uppfattar likhetstecknet såsom betydelseidentitet. Exempel: »det blåser och regnar eller snöar» betyder detsamma som »det blåser och regnar eller det blåser och snöar». I talens värld gäller däremot inte formeln x+y*z = (x+y)*(x+z). Men för satser gäl-

85

ler den. Den intresserade läsaren uppmanas själv försöka verificera formeln.

Det finns också andra regler eller lagar i algebran än sådana som handlar om tal-uttrycks identitet, och andra regler eller lagar i logiken än sådana som handlar om språk-uttrycks betydelselikhet. Det är knappast möjligt att uttömmande ange, vad logiska regler »handlar om». Men det må nämnas här, att en mycket viktig grupp av logiska regler handlar om, hur man drar slutsatser. Det betyder: hur man ur givna satser enligt bestämda regler kan bilda en eller flera nya satser, som uppfyller villkoret att vara sanna, om de givna satserna själva råkade vara sanna.

    Den synpunkt på förhållandet mellan logik och språk, som vi kommit fram till, kunde kort uttryckas så: Logiskt tänkande är språkets handhavande enligt regler, som till sin art påminner om matematikens regler för operationer med matematiska symboler. Logiskt tänkande kunde kallas språk-kalkyl. Logik är det vetenskapliga studiet av dylika kalkyler.

    Det måste betonas, att vi med »kalkyl» här menar en verksamhet: ett bruk, i tal och skrift, av språkliga symboler enligt vissa regler. Man kan använda en term av Wittgenstein och säga, att kalkyler i denna mening är ett slags »språkspel». — Ofta använder man ordet »kalkyl» i en mera speciell mening: för att beteckna ungefär det som vi här kallar kalkylernas eller språkspelens teori, alltså logikens olika delar.

    Den logiska kalkyl, som jag haft i tankarna vid mitt försök att kort beskriva Booles upptäckt, kallas vanligen satskalkyl. Dess systematiska utforskning är en teori om vissa sats-förbindande partiklar. Logikerna kallar ifrågavarande små ord sanningskonnektiver (truth-connectives).

    Sanningskonnektivernas teori är bara en liten del av den moderna logiken. Det finns ingen principiell gräns för de delar av språket som kan undersökas ur logisk synpunkt.

Man må observera, att när vi här talat om språk och sagt, att logiskt tänkande är språkkalkyl, så har vi använt ordet »språk» i dess helt vanliga betydelse och inte i någon speciell eller teknisk mening. Med »språk» har vi avsett den krets av företeelser, vars kärna bildas av den vardagliga användningen, i tal och skrift, av våra modersmål — svenska, finska, engelska, o.s.v. Språk i denna »vanliga» betydelse är förvisso ett mycket vagt begrepp. Men denna vaghet stör oss inte.

    Emellertid använder den moderna logikern termen »språk» också i en annan och särpräglad mening. Denna skall jag nu försöka förklara.

   En av den logiska forskningens viktigaste uppgifter är att systematisera de logiska reglerna. Man försöker, t.ex., ordna dem i s.k. axiomatiska system och undersöker sedan om de uppställda systemen är fullständiga, motsägelsefria, o.s.v.

    När man skall systematisera reglerna i satskalkylen, kan det vara motiverat att införa särskilda, för ändamålet uppfunna symboler för den logiska summan, produkten etc. liksom man i matematiken har infört särskilda symboler för den aritmetiska summan, produkten etc. Vidare är det praktiskt att införa särskilda tecken för godtyckliga satser, liksom man i matematiken infört särskilda tecken för godtyckliga tal. Som känt betecknas godtyckliga tal i algebran med latinska småbokstäver. Samma medel används i logiken för att beteckna godtyckliga satser.

    Om vi betecknade satsers logiska summa med + och deras logiska produkt med *, så kunde vi säga, att våra tidigare nämnda formler x*(y+z) = x*y + x*z och x+y*z = (x+y)*(x+z) uttrycker logiska lagar. Vanligen använder man sig likväl av andra tecken för »eller» och »och» i logiken, eftersom det ju visar sig, att inte alla regler, som gäller för logiska summor och produkter, också gäller för aritmetiska summor och produkter och omvänt.

    På detta sätt uppstår något som kunde kallas logiska symbolspråk. Att kalla dem språk är inte alls onaturligt. Ty de uppvisar långt gående likheter med de naturliga språken. Till detta skall jag strax återkomma.

    Det är inte svårt att förstå några av de vinster, som man inhöstar med dylika artificiella symbolspråk.

    En första fördel är uttrycksmedlens ekonomi. Symbolerna gör det möjligt att i en kort formel uttala logiska regler, vilkas omskrivning på ett »naturligt» språk kan ställa sig invecklad. Värdet av denna ekonomi kan knappast överskattas. Också om allt som kan sägas på symbolspråket »i princip» kan uttryckas utan hjälp av symboler, så är de naturliga språkmedlen så otympliga, att huvuddelen av den logiska vetenskapens landvinningar omöjliggjorts, om man haft att hålla sig enbart till dem.

    En annan fördel med symbolspråket är dess abstrakta natur. Härmed menar jag, att man i symbolspråket ser bort (»abstraherar») från många omständigheter, som är ovidkommande för den logiska undersökningen. Om jag vill illustrera en egenskap hos satsers logiska summa, är det naturligtvis likgiltigt, om jag gör det med satserna »det regnar» och »det blåser» eller med

86

satserna »jag äter» och »du sover». Därför är det praktiskt att använda x och y.

    En tredje fördel ligger i ökad exakthet. I de naturliga språken har de ord, som intresserar logikerna, ofta många betydelser. Symbolspråkens tecken ges ett entydigt innehåll. Denna mångtydighet respektive entydighet spelar en roll redan i satskalkylen. Vi har sagt, att i den satser förbindas med tillhjälp av ordet »eller». Men svenskans »eller» motsvaras på finska av både »tai» och »eli». De två sistnämnda är inte synonymer. Undersöker man således i satskalkylens logik användningen av både »tai» och »eli»? Nej. Den logiska summan uttrycker man på finska med »tai». Men — väl att märka — ehuru finskan skiljer mellan »tai» och »eli», där svenskan bara har »eller», så har också »tai» flera logiskt olikartade användningssätt. Ett av dessa sätt är ordets användning för logisk addition.

    I några av de drag hos symbolspråken, som vi kallat fördelar, ligger emellertid fröet till ett svårt problem. Det är frågan om symbolspråkens förhållande till de naturliga språken. Här finns plats för mycken oklarhet och många missförstånd. Jag skall kort beröra två.

    Någon kunde mena, att logikens regler kanske »gäller» bara för de abstrakta och exakta sym­bolspråken, men inte för de naturliga språken. Att logikens utveckling till matematisk vetenskap gjort logiken till ett raffinerat men onyttigt »spel» med symboler utan kontakt med det »verkliga» tänkandet.

Detta är en vulgär missuppfattning. Vi har redan sagt, att en av logikens viktigaste uppgifter är att systematisera regler rörande språkmedlens användning för olika »logiska ändamål», t.ex. för att dra slutsatser. Symbolspråken är s.a.s. bara ett hjälpmedel för dessa lagars koncisa uppskrivande. De logiska lagarnas giltighetsområde är emellertid i första hand just de naturliga språken, — vardagstalet och vardagstänkandet. En annan sak är, att frågan vari logiska lagars »giltighet» över huvud består är ett mycket svårt problem.

    Det andra missförståndet är mera subtilt. Vi har sagt, att logikens symbolspråk i vissa avseenden liknar naturliga språk. De kan m.a.o. studeras såsom språk. Man kan t.ex. undersöka deras syntax. Man kan vidare till deras värld överflytta diskussionen av många filosofiskt intressanta begrepp, som man har svårt att få klar sikt på i de naturliga språkens begreppsdjungel. Ett berömt exempel på en sådan överflyttning av filosofisk problematik från det naturliga språkets till symbolspråkets plan är den polska logikern Tarskis mycket betydelsefulla undersökning »Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen».

    Dessa omständigheter har givit upphov till er tendens hos en del nutida logiker och filosofer att betrakta studiet av symbolspråkens grammatiska egenskaper såsom särdeles viktigt eller kanske rent av uttömmande för alla aspekter av logiskt och filosofiskt intresse hos språket över huvud. Drag i de naturliga språken, som inte motsvaras av drag i symbolspråken, betraktar man då lätt såsom filosofiskt ovidkommande, på sin höjd psykologiskt och historiskt intressanta föroreningar. De naturliga språken förmodas vara logiskt »i ordning» bara i den utsträckning som de svarar mot vissa »ideala» språkmodeller.

    Jag vill inte förneka, att studiet av symbolspråken såsom språk kan vara synnerligen gi­vande. Men jag ville energiskt understryka, att detta mycket speciella studium bara är en liten del av vad de moderna logikerna sysslar med. Och vidare ville jag ta avstånd från meningen, att detta slags »språkforskning» skulle vara av stort värde för behandlingen av de naturliga språkens filosofiska eller allmänt lingvistiska problematik. Någon egentlig kritik av avvikande meningar kan det likväl inte bli fråga om inom ramen för denna korta och onyanserade framställning.

G. H. v. W.